奇数番目のBernoulli数

前回はBernoulli多項式とBernoulli数を定義から具体的に計算した後、Bernoulli数の漸化式を示しました。
negelon.hatenablog.com
今回は、Bernoulli数のある性質を証明したいと思います。

前記事のBernoulli数の表を再掲しよう.
Bernoulli数

$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$1$	$-\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{6}$	$0$	$-\dfrac{1}{30}$	$0$	$\dfrac{1}{42}$	$0$	$-\dfrac{1}{30}$	$0$	$\dfrac{5}{66}$	$0$	$-\dfrac{691}{2730}$

おかわりいただけるだろうか. $3$ 以上の奇数番目におけるBernoulli数の値が $0$ になっている. 今回はこれを示すことが目的である. 次のLemma.12から始めよう.

Lemma.12 任意の自然数 $q$ に対して,
\begin{align*}
B_q(1-x)=(-1)^qB_q(x).
\end{align*}

(証明)
$2$ 以上の自然数 $N$ を任意にとり固定する. このとき Prop.9 から,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N-1}n^q=\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N)-B_{q+1}\right\}
\end{align*}であるので $n$ を $-n$ に取り換えることにより,
\begin{align*}
\sum_{n=-N+1}^{-1}n^q=(-1)^q\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N)-B_{q+1}\right\}
\end{align*}となる. 一方で Prop.9より,
\begin{align*}
\sum_{n=-N+1}^{-1}n^q=\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}-B_{q+1}(1-N)\right\}
\end{align*}であるからこれらより,
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}-B_{q+1}(1-N)\right\}=(-1)^q\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N)-B_{q+1}\right\}
\end{align*}が成り立つ. $N$ は任意だったので,
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}-B_{q+1}(1-x)\right\}=(-1)^q\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(x)-B_{q+1}\right\}
\end{align*}であり両辺を微分すれば,
\begin{align*}
B'_{q+1}(1-x)=(-1)^{q}B'_{q+1}(x)
\end{align*}となる. 従って両辺に $B'_{q+1}(x)=(q+1)B_q(x)$ を代入すれば,
\begin{align*}
(q+1)B_q(1-x)=(-1)^{q}(q+1)B_q(x)
\end{align*}となり両辺を $(q+1)$ で割ることにより,
\begin{align*}
B_q(1-x)=(-1)^qB_q(x)
\end{align*}を得る.■
この Lemma.12 を用いて次を示す.

Prop.13 任意の自然数 $k$ に対して,
\begin{align*}
B_{2k+1}=0.
\end{align*}

(証明)
Lemma.12 において $x=0, q=2k+1$ とすれば,
\begin{align*}
B_{2k+1}(0)=(-1)^{2k+1}B_{2k+1}(1)=-B_{2k+1}(1)
\end{align*}である. Prop.8より $B_{2k+1}(0)=B_{2k+1}(1)=B_{2k+1}$ であるから,
\begin{align*}
B_{2k+1}&=-B_{2k+1}
\end{align*}となって,
\begin{align*}
B_{2k+1}&=0
\end{align*}を得る.■