Euler-MacLaurinの和公式

前回は、Bernoulli多項式とBernoulli数の評価を行いました。
negelon.hatenablog.com
今回は、主張は初等的なのですが解析的整数論で驚くべき効果を発揮するEuler-MacLaurinの和公式を紹介します。

Euler-MacLaurinの和公式

Prop.35(Euler-MacLaurinの和公式) を任意の自然数とし を < を満たす整数とする. このとき, 少なくとも 回連続微分可能な関数 に対して,
\begin{align*}
\sum_{n=a+1}^{b}f(n)=\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^r}{r!}B_r\left\{f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right\}+R_q
\end{align*}が成り立つ. ここで は剰余項であり,
\begin{align*}
R_q:=\frac{(-1)^{q-1}}{q!}\int_{a}^{b}B_q(x-[x])f^{(q)}(x)dx
\end{align*}で与えられる.

(証明)
Bernoulli多項式の定義に注意して部分積分を繰り返すと,
\begin{align*}
\int_{0}^{1}f(x)dx&=\int_{0}^{1}B'_1(x)f(x)dx\\
　 &=\big[B_1(x)f(x)\big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}B_1(x)f'(x)dx\\
　　 &=\big[B_1(x)f(x)\big]_{0}^{1}-\frac{1}{2!}\int_{0}^{1}B'_2(x)f'(x)dx\\
　　　　　　　　 &=\big[B_1(x)f(x)\big]_{0}^{1}-\frac{1}{2!}\big[B_2(x)f(x)\big]_{0}^{1}+\frac{1}{2!}\int_{0}^{1}B_2(x)f''(x)dx\\
　　 &=\cdots\\
　　　　 &=\sum_{r=1}^{q}\dfrac{(-1)^{r-1}}{r!}\big[B_r(x)f^{(r-1)}(x)\big]_{0}^{1}+(-1)^q\int_{0}^{1}\frac{B_q(x)}{q!}f^{(q)}(x)dx
\end{align*}である. 1項目の和を とそれ以外に分けて計算すると,
\begin{align*}
\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^{r-1}}{r!}\big[B_r(x)f^{(r-1)}(x)\big]_{0}^{1}&=B_1(1)f(1)-B_1(0)f(0)+\sum_{r=2}^{q}\frac{(-1)^{r-1}}{r!}\big[B_r(x)f^{(r-1)}(x)\big]_{0}^{1}\\
　　&=(1+B_1)f(1)-B_1f(0)+\sum_{r=2}^{q}\frac{(-1)^{r-1}}{r!}\big[B_r(x)f^{(r-1)}(x)\big]_{0}^{1}\\
　　 &=f(1)+\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^{r-1}B_r}{r!}\left\{f^{(r-1)}(1)-f^{(r-1)}(0)\right\}
\end{align*}
となる. ここで 2行目の等号では Prop.8 を用いた. よって,
\begin{align*}
f(1)&=\int_{0}^{1}f(x)dx-\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^{r-1}B_r}{r!}\left\{f^{(r-1)}(1)-f^{(r-1)}(0)\right\}-(-1)^q\int_{0}^{1}\frac{B_q(x)}{q!}f^{(q)}(x)dx\\
　　&=\int_{0}^{1}f(x)dx+\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^{r}B_r}{r!}\left\{f^{(r-1)}(1)-f^{(r-1)}(0)\right\}+(-1)^{q-1}\int_{0}^{1}\frac{B_q(x)}{q!}f^{(q)}(x)dx
\end{align*}
が得られる. この式において を に取り換えると,
\begin{align*}
f(n)=\int_{0}^{1}f(n-1+x)dx+\sum_{r=1}^{q}&\frac{(-1)^{r}B_r}{r!}\left\{f^{(r-1)}(n)-f^{(r-1)}(n-1)\right\}\\
&+(-1)^{q-1}\int_{0}^{1}\frac{B_q(x)}{q!}f^{(q)}(n-1+x)dx
\end{align*}
となるので両辺 から まで和をとると,
\begin{align*}
\sum_{n=a+1}^{b}f(n)=\sum_{n=a+1}^{b}\int_{0}^{1}f(n-1+x)dx&+\sum_{n=a+1}^{b}\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^{r}B_r}{r!}\left\{f^{(r-1)}(n)-f^{(r-1)}(n-1)\right\}\\
&+\sum_{n=a+1}^{b}(-1)^{q-1}\int_{0}^{1}\frac{B_q(x)}{q!}f^{(q)}(n-1+x)dx\\
&=S_1+S_2+S_3
\end{align*}
である. ここで をそれぞれ計算する. まず は,
\begin{align*}
S_1&=\sum_{n=a+1}^{b}\int_{n-1}^{n}f(x)dx\\
&=\int_{a}^{b}f(x)dx
\end{align*}
であり, は
\begin{align*}
S_2&=\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^{r}B_r}{r!}\sum_{n=a+1}^{b}\left\{f^{(r-1)}(n)-f^{(r-1)}(n-1)\right\}\\
&=\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^{r}B_r}{r!}\left\{f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right\}
\end{align*}
である. また は,
\begin{align*}
S_3&=\frac{(-1)^{q-1}}{q!}\sum_{n=a+1}^{b}\int_{0}^{1}B_q(x)f^{(q)}(n-1+x)dx\\
&=\frac{(-1)^{q-1}}{q!}\sum_{n=a+1}^{b}\int_{n-1}^{n}B_q(x-n+1)f^{(q)}(x)dx\\
&=\frac{(-1)^{q-1}}{q!}\sum_{n=a+1}^{b}\int_{n-1}^{n}B_q(x-[x])f^{(q)}(x)dx\\
&=\frac{(-1)^{q-1}}{q!}\int_{a}^{b}B_q(x-[x])f^{(q)}(x)dx\\
&=R_q
\end{align*}
となる. 従って,
\begin{align*}
\sum_{n=a+1}^{b}f(n)=\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{r=1}^{q}\frac{(-1)^r}{r!}B_r\left\{f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right\}+R_q
\end{align*}
を得る.■