べき乗和の公式とBernoulli多項式, Bernoulli数
今回は前回の記事で定めた
を用いてべき乗和の公式を導きます。
negelon.hatenablog.com
また、より簡潔に公式を書き下すためにBernoulli多項式とBernoulli数を定義します。
negelon.hatenablog.com
また、より簡潔に公式を書き下すためにBernoulli多項式とBernoulli数を定義します。
べき乗和の公式
Prop.5 自然数 
と 
を満たす任意の整数 
に対して,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N-1}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{M}{j+1}\right\}.
\end{align*}特に, 自然数Nに対して,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{1}{j+1}\right\}.
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N-1}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{M}{j+1}\right\}.
\end{align*}特に, 自然数Nに対して,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{1}{j+1}\right\}.
\end{align*}
(証明)
Prop.1から,
\begin{align*}
x^q &= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x}{j}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1}\right\}
\end{align*}なので, をそれぞれ
に代入して足し合わせるとCor.2より,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N-1}n^{q} &= \sum_{n=M}^{N-1}\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{n+1}{j+1}-\dbinom{n}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\sum_{n=M}^{N-1}\left\{\dbinom{n+1}{j+1}-\dbinom{n}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1}-\dbinom{M}{j+1}\right\}
\end{align*}となる. 特に を
に,
を
にすれば,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{1}{j+1}\right\}
\end{align*}を得る. ■
Bernoulli多項式とBernoulli数
べき乗和の公式を導くことはできたが, このままではまだ少し複雑である. そこで, より分かりやすくするためにBernoulli多項式とBernoulli数を定義しよう. まずはBernoulli多項式の定義から行う.
自然数 に対して,
はひとまず何かしらの定数としておき,
\begin{align*}
B_q(x) := q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{x}{j+1} + B_q
\end{align*}と定める. ここからはを上手く決定していく. まず, Prop.1とDef.3から,
\begin{align}
\dfrac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(x+1) - B_{q+1}(x)\right\} &= \dfrac{1}{q+1}\left\{(q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x+1}{j+1} - (q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x}{j}\\
&= x^{q} \tag{1}
\end{align}である. この両辺を で微分して変形することで,
\begin{align*}
qx^{q-1} = \dfrac{1}{q+1}\left\{B'_{q+1}(x+1) - B'_{q+1}(x)\right\} \tag{2}
\end{align*}が分かる. また (1) において を
として変形すれば,
\begin{align*}
qx^{q-1} = \left\{B_{q}(x+1) - B_{q}(x)\right\} \tag{3}
\end{align*}となるので, (2), (3) より,
\begin{align*}
\dfrac{1}{q+1}\left\{B'_{q+1}(x+1) - B'_{q+1}(x)\right\} = B_{q}(x+1) - B_{q}(x),
\end{align*}つまり,
\begin{align*}
\dfrac{1}{q+1}B'_{q+1}(x+1) - B_{q}(x+1) = \dfrac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) - B_{q}(x)
\end{align*}を得る. これより, は周期1の多項式であることが分かるが, 周期を持つ多項式は定数関数のみなので, ある定数
が存在して,
\begin{align*}
\dfrac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) - B_{q}(x) = K_{q}
\end{align*}となる. さて, いよいよ を決定する.
となるように
をとる. つまり,
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) = B_{q}(x)
\end{align*}となるように を選ぶのである. 以上でBernoulli多項式が定義できた.
Def.6 (Bernoulli多項式) 自然数 に対して,
\begin{align*}
B_{q}(x) = q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{x}{j+1} + B_{q}
\end{align*}をBernoulli多項式という. ここで定数
は,
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) = B_{q}(x)
\end{align*}を満たすようにとる. ただし,
と定める.
\begin{align*}
B_{q}(x) = q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{x}{j+1} + B_{q}
\end{align*}をBernoulli多項式という. ここで定数
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) = B_{q}(x)
\end{align*}を満たすようにとる. ただし,
実はBernoulli数も既に顔を出している.
Bernoulli数はBernoulli多項式のでの値に現れる.
(証明)
(1) \begin{align*}
B_{q}(0) &= q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{0}{j+1} + B_q\\
&= B_{q}.
\end{align*}
(2) のときは
であることと自然数
に対して
であることより,
\begin{align*}
B_{1}(1) &= \sum_{j \geq 0}A_{0, j}\dbinom{1}{j+1} + B_{1}\\
&= 1 + B_{1}.
\end{align*}のときは, 自然数
に対して
であることより,
\begin{align*}
B_{q}(1) &= q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{1}{j+1} + B_{q}\\
&= q\left\{A_{q-1, 0}\dbinom{1}{1} + \sum_{j \geq 1}A_{q-1, j}\dbinom{1}{j+1}\right\} + B_{q}\\
&= B_{q}.
\end{align*}
以上より成立する. ■
べき乗和の公式、再び
Bernoulli多項式, Bernoulli数の具体的な計算は次回に行うことにする. 本記事の最後に, Bernoulli多項式を用いてべき乗和の公式( Prop.5 )を書き換えよう.
Prop.9 (べき乗和の公式) 任意の自然数 と となる任意の整数 
に対して,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N}n^q=\dfrac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}(M)\right\}.
\end{align*}特に自然数
に対して,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^q = \frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}\right\}.
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N}n^q=\dfrac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}(M)\right\}.
\end{align*}特に自然数
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^q = \frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}\right\}.
\end{align*}
(証明)
Prop.5 より,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N}n^q &= \sum_{j \geq 0}A_{q,\,j}\left\{\binom{N+1}{j+1}-\binom{M}{j+1}\right\}\\
&=\frac{1}{q+1}\left\{(q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\binom{N+1}{j+1}+B_{q+1}-(q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\binom{M}{j+1}-B_{q+1}\right\}\\
&=\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}(M)\right\}.
\end{align*}特に とすれば Prop. 8 より,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^q &= \frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}(1)\right\}\\
&= \frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}\right\}
\end{align*}を得る. ■
