二項係数の多項式への拡張とある整数
Bernoulli多項式やBernoulli数は通常母関数を用いて定義されますが、このブログでは別の定義を採用します。
今回はそのための準備を行います。
二項係数の多項式への拡張
\begin{align*}
\dbinom{x}{j} :=
\begin{cases}
\dfrac{x(x-1)\cdots(x-j+1)}{1\cdot2\cdots j} & (j \geq 1 のとき), \\
1 & (j = 0 のとき)
\end{cases}
\end{align*}
と定める. これは二項係数の多項式への自然な拡張になっている. 二項係数のときと同様に次が成り立つ.
Prop.1 非負整数 
に対して,
\begin{align*}
\dbinom{x}{j} = \dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1}
\end{align*}が成り立つ.
\begin{align*}
\dbinom{x}{j} = \dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1}
\end{align*}が成り立つ.
(証明)
のときは明らかなので,
が自然数のときに示す.
\begin{align*}
\dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1} &= \dfrac{(x+1)x(x-1)\cdots(x-j+1)}{1\cdot2\cdots j(j+1)} - \dfrac{x(x-1)\cdots(x-j+1)(x-j)}{1\cdot2\cdots j(j+1)}\\
&= \dfrac{x(x-1)\cdots(x-j+1)}{1\cdot2\cdots j}\\
&= \dbinom{x}{j}
\end{align*}より成立. ■
Cor.2 非負整数 と 
を満たす任意の整数 
に対して,
\begin{align*}
\sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n}{j} = \dbinom{N}{j+1} - \dbinom{M}{j+1}
\end{align*}が成り立つ.
\begin{align*}
\sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n}{j} = \dbinom{N}{j+1} - \dbinom{M}{j+1}
\end{align*}が成り立つ.
(証明)
Prop.1より,
\begin{align*}
\sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n}{j} &= \sum_{n = M}^{N-1}\left\{\dbinom{n+1}{j+1} - \dbinom{n}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n+1}{j+1} - \sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n}{j+1}\\
&= \dbinom{N}{j+1}-\dbinom{M}{j+1}
\end{align*}より成立. ■
整数 
今, 任意の整数点で整数値をとる 次多項式
を考える. この
に対して整数
を,
\begin{align*}
f(x) = \sum_{j \geq 0}A_{j}\dbinom{x}{j}
\end{align*}
で定める. が整数であることは,
,
であり,
から
,
であり,
から
,
としていくことで帰納的に分かる. また次数の関係から, 以上の自然数
に対して
であることも分かるので, 右辺の和は有限和である.
さて, 今自然数 に対して
として, 整数
を定める. つまり次のように定義する.
Def.3 自然数 
と非負整数 に対して整数 
を,
\begin{align*}
x^{q} = \sum_{j \geq 0} A_{q, j}\dbinom{x}{j}
\end{align*}で定める. ただし
, また自然数 に対して 
と定める.
\begin{align*}
x^{q} = \sum_{j \geq 0} A_{q, j}\dbinom{x}{j}
\end{align*}で定める. ただし
整数 の性質のうち簡単に分かるものをいくつか挙げる.
まず次数の関係から, のとき
となる.
次に定義の式の両辺で とすることで
を得る.
また, 定義の式の両辺で の係数を比較することで
が分かる.
の明示公式
整数 は以下の表示を持つ.
Prop.4 
を満たす自然数 と非負整数 に対して,
\begin{align*}
A_{q, j} = \sum_{m = 0}^{j}(-1)^m\dbinom{j}{m}(j - m)^{q}
\end{align*}が成り立つ.
\begin{align*}
A_{q, j} = \sum_{m = 0}^{j}(-1)^m\dbinom{j}{m}(j - m)^{q}
\end{align*}が成り立つ.
(証明)
\begin{align*}
\sum_{l = 0}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}l^{q} &= \sum_{l = 0}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j}{l}\sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\dbinom{l}{k}\\
&= \sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\sum_{l = 0}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}\dbinom{l}{k}\\
&= \sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\dfrac{j!}{k!(j-k)!}\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k}.
\end{align*} ここで のときは,
\begin{align*}
\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k} &= (-1)^{k}\sum_{\lambda = 0}^{j-k}(-1)^{\lambda}\dbinom{j-k}{\lambda}\\
&= 0
\end{align*}であり, のときは,
\begin{align*}
\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k} &= (-1)^j
\end{align*}となるので,
\begin{align*}
\sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\sum_{l = 0}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}\dbinom{l}{k} &= \sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\dfrac{j!}{k!(j-k)!}\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k}\\
&= A_{q, j}\dfrac{j!}{j!0!}(-1)^{j}\\
&= (-1)^{j}A_{q, j}
\end{align*}となる. よって,
\begin{align*}
A_{q, j} &= \sum_{l = 0}^{j}(-1)^{l+j}\dbinom{j}{l}l^{q}\\
&= \sum_{m=0}^{j}(-1)^m\dbinom{j}{m}(j-m)^{q}
\end{align*}を得る. ただし, 最後の等号では とした. ■
