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新米社会人による日曜数学の軌跡

階乗の漸近公式

前回は、Euler-MacLaurinの和公式を証明しました。
negelon.hatenablog.com
今回は、Euler-MacLaurinの和公式の応用として階乗の漸近公式を証明します。

階乗の漸近公式

Prop. 36 任意の自然数 N に対して, 0<\vartheta_1(N)<1 を満たす実数 \vartheta_1(N) が存在して,
\begin{align*}
\log N! = \log \sqrt{2\pi}+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log N -N+\frac{\vartheta_1(N)}{12N}
\end{align*}が成り立つ.

(証明)
Prop.35 において f(x)=\log x , a=1 , b=N , q=2m とすれば,
\begin{align*}
\log N! &=\sum_{n=2}^{N}\log n\\
&=N\log N-N+1+\frac{1}{2}\log N\\
& \qquad +\sum_{r=2}^{2m}\frac{B_r}{r(r-1)}\left(N^{-(r-1)}-1\right)+\frac{1}{2m}\int_{1}^{N}B_{2m}(x-[x])x^{-2m}dx\\
&=N\log N-N+1+\frac{1}{2}\log N \\
& \qquad+\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}\left(N^{-(2j-1)}-1\right)+\frac{1}{2m}\int_{1}^{N}B_{2m}(x-[x])x^{-2m}dx\\
&=N\log N-N+1+\frac{1}{2}\log N\\
& \qquad+\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-(2j-1)}-\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}\\
& \qquad\qquad +\frac{1}{2m}\int_{1}^{\infty}B_{2m}(x-[x])x^{-2m}dx-\frac{1}{2m}\int_{N}^{\infty}B_{2m}(x-[x])x^{-2m}dx.
\end{align*}2 行目の等号は B_1=-\frac{1}{2} より, 3 行目の等号は Prop. 13 より従う. ここで,
\begin{align*}
\Omega_{2m}(N)&:=-\frac{1}{2m}\int_{N}^{\infty}B_{2m}(x-[x])x^{-2m}dx,\\
K_m&:=\frac{1}{2m}\int_{1}^{\infty}B_{2m}(x-[x])x^{-2m}dx-\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}+1
\end{align*}とおくと上の等式は,
\begin{align*}
\log N! &=\left(N+\frac{1}{2}\right)\log N -N+\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-(2j-1)}+K_m-\Omega_{2m}(N)
\end{align*}と表せる. いま K_mm に依存していない. 実際,
\begin{align*}
\log N!-\left(N+\frac{1}{2}\right)\log N+N=\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-(2j-1)}+K_m-\Omega_{2m}(N)
\end{align*}より,
\begin{align*}
\lim_{N \to \infty}\left\{\log N!-\left(N+\frac{1}{2}\right)\log N+N\right\}&=\lim_{N \to \infty}\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-(2j-1)}-\lim_{N \to \infty}\Omega_{2m}(N)+K_m\\
&=-\lim_{N \to \infty}\Omega_{2m}(N)+K_m
\end{align*}であり, Prop. 34 より ,
\begin{align*}
\left|\Omega_{2m}(N)\right| &\leq \frac{1}{2m}\int_{N}^{\infty}\left|B_{2m}(x-[x])\right|x^{-2m}dx\\
&\leq \frac{\left|B_{2m}\right|}{2m}\int_{N}^{\infty}x^{-2m}dx\\
&=\frac{\left|B_{2m}\right|}{2m(2m-1)}N^{-2m+1}
\end{align*}より
\begin{align*}
\lim_{N \to \infty}\Omega_{2m}(N)=0
\end{align*}なので,
\begin{align*}
K_m=\lim_{N \to \infty}\left\{\log N!-\left(N+\frac{1}{2}\right)\log N+N\right\}
\end{align*}となって m に依存しない. これより K_m をある定数 K に取り換えてよい. さて,
\begin{align*}
R_{2m}(N):=\frac{B_{2m}}{2m(2m-1)}N^{-2m+1}-\Omega_{2m}(N)
\end{align*}とおくと, R_{2m}(N)B_{2m} は同符号である. よって,
\begin{align*}
R_{2m}=\vartheta_m(N)\frac{B_{2m}}{2m(2m-1)}N^{-2m+1}
\end{align*}により \vartheta_m(N) を定めると, \vartheta_m(N)>0 である. よって,
\begin{align*}
\log{N!}&=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-2j+1}-\Omega_{2m}(N)\\
&= K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\sum_{j=1}^{ m - 1 }\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-2j+1} - R_{2m}(N)\tag{1}
\end{align*}となる. ここで mm-1 に置き換えると,
\begin{align*}
\log{N!}=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-2j+1}-R_{2m+2}(N)\tag{2}
\end{align*}なので(1), (2)より,
\begin{align*}
R_{2m}(N)=\frac{B_{2m}}{2m(2m-1)}N^{-2m+1}+R_{2m+2}(N)
\end{align*}であるから, R_{2m+2}=\vartheta_{m+1}(N)\frac{B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)}N^{-2m-1} を代入すると, Prop. 18より,
\begin{align*}
R_{2m}(N)&=\frac{B_{2m}}{2m(2m-1)}N^{-2m+1}+\vartheta_{m+1}(N)\frac{B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)}N^{-2m-1}\\
&=\frac{B_{2m}}{2m(2m-1)}N^{-2m+1}\left\{1-\vartheta_{m+1}(N)\left|\dfrac{B_{2m+2}}{B_{2m}}\right|\frac{2m(2m-1)}{(2m+1)(2m+2)}\right\}
\end{align*}となって,
\begin{align*}
\vartheta_m(N)=1-\vartheta_{m+1}(N)\left|\frac{B_{2m+2}}{B_{2m}}\right|\frac{2m(2m-1)}{(2m+1)(2m+2)}
\end{align*}となるので 0<\vartheta_{m}(N) と合わせて, 0<\vartheta_m(N)<1 が分かる. よって,
\begin{align*}
\log{N!}=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)}N^{-2j+1}-\Omega_{2m}(N)
\end{align*}において, m=1 とすれば,
\begin{align*}
\log{N!}&=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\frac{B_{2}}{2}N^{-1}-\Omega_{2}(N)\\
&=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+R_{2}(N)\\
&=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\frac{B_2}{2N}\vartheta_1(N)\\
&=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\frac{\vartheta_1(N)}{12N}
\end{align*}となる. ここで 2 行目の等号は R_{2m}(N) の定義から, 3 行目の等号は \vartheta_m(N) の定義から従い, 4 行目の等号では B_2=\frac{1}{6} を用いた. 以上から,
\begin{align*}
\log{N!}=K+\left(N+\frac{1}{2}\right)\log{N}-N+\frac{\vartheta_1(N)}{12N}, \left(0<\vartheta_1(N)<1\right)
\end{align*}を得た. 最後に定数 K の値を決定する. 上の等式から,
\begin{align*}
N!&=\exp\left(K+\left(N+\dfrac{1}{2}\right)\log{N}-N+\frac{\vartheta_1(N)}{12N}\right)\\
&=N^{N+\frac{1}{2}}\exp\left(K-2N+\frac{\vartheta_1(N)}{12N}\right)
\end{align*}であり, これをWallisの公式
\begin{align*}
\frac{\pi}{2}=\lim_{N\to\infty}\frac{2^{4N}\left(N\right)!}{\left(\left(2N\right)!\right)\left(2N+1\right)}
\end{align*}に代入すれば,
\begin{align*}
\frac{\pi}{2}&=\frac{\mathrm{e}^{2K}}{2}\lim_{N\to\infty}\frac{N}{2N+1}\exp\left(\frac{\vartheta_1(N)}{3N}-\frac{\vartheta_1(2N)}{12N}\right)\\
&=\frac{\mathrm{e}^{2K}}{4}
\end{align*}となる. ここで, 2 行目の等号では 0<\vartheta_1(N)<1 , 0<\vartheta_1(2N)<1 を用いた. 従って K=\log{\sqrt{2\pi}} を得る.

Prop. 36の両辺の指数をとることで直ちに次が分かる.

Cor. 37 十分大きな自然数 N に対して,
\begin{align*}
N! =O\left(\sqrt{N}\left(\frac{N}{\mathrm{e}}\right)^N\right)
\end{align*}が成り立つ.