Bernoulli多項式とBernoulli数の評価
negelon.hatenablog.com
今回は、それらの結果を利用してBernoulli多項式とBernoulli数の評価を行いたいと思います。
Bernoulli多項式の評価
\begin{align*}
\left| B_{q}(x - [x]) \right| \leq \dfrac{q!}{12(2 \pi)^{q - 2}}
\end{align*}が成り立つ.
(証明)
のときは明らかなので の時を考える. が偶数, 奇数のときをそれぞれ とおけば, Thm.28 より,
\begin{align*}
\left| B_{2k}(x - [x]) \right| &= 2 \cdot (2k)!\left|\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{\cos{2 \pi nx}}{(2 \pi n)^{2k}}\right|\\
&\leq 2 \cdot (2k)!\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{(2 \pi n)^{2k}},\\
\left| B_{2k - 1}(x - [x]) \right| &= 2 \cdot (2k - 1)!\left|\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{\sin{2 \pi nx}}{(2 \pi n)^{2k - 1}}\right|\\
&\leq 2 \cdot (2k - 1)!\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{(2 \pi n)^{2k - 1}}
\end{align*}であるから, 以上の自然数 に対して,
\begin{align*}
\left|B_{q}(x - [x])\right| &\leq 2 \cdot q!\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{(2 \pi n)^{q}}\\
&\leq \dfrac{2 \cdot q!}{(2 \pi)^{q}}\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{q}}\\
&\leq \dfrac{2 \cdot q!}{(2 \pi)^{q}}\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}\\
&= \dfrac{2 \cdot q!}{(2 \pi)^{q}}\dfrac{\pi^{2}}{6}\\
& \leq \dfrac{q!}{12(2 \pi)^{q - 2}}
\end{align*}となって成立. ただし 行目の等号では Cor.29 を用いた.■
Bernoulli数の評価
\begin{align*}
\dfrac{2 \cdot (2k)!}{(2\pi)^{2k}} \leq \left|B_{2k}\right| \leq \dfrac{(2k)!}{12 \cdot (2 \pi)^{2k - 2}}
\end{align*}が成り立つ.
(証明)
Cor.29 より,
\begin{align*}
\left|B_{2k}\right| &= \dfrac{(2k)!}{2^{2k-1}\pi^{2k}}\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2k}}\\
&> \dfrac{(2k)!}{2^{2k-1}\pi^{2k}}\tag{1}.
\end{align*}一方で, Prop.31 において とおけば, Prop.8 より,
\begin{align*}
\left|B_{2k}\right| &= \left|B_{2k}(0)\right|\\
&\leq \dfrac{1}{12}\dfrac{(2k)!}{(2\pi)^{2k - 2}}\tag{2}
\end{align*}なので, (1), (2) より,
\begin{align*}
\dfrac{2 \cdot (2k)!}{(2\pi)^{2k}} \leq \left|B_{2k}\right| \leq \dfrac{(2k)!}{12 \cdot (2 \pi)^{2k - 2}}
\end{align*}を得る.■
(証明)
Prop.32 から のとき,
\begin{align*}
\left|B_{2( k + 2 )}\right| - \left|B_{2k }\right| &> \dfrac{2 \cdot (2(2k + 1))!}{(2\pi)^{2(k + 1)}} - \dfrac{(2k)!}{12 \cdot (2\pi)^{2k - 2}}\\
&= \dfrac{(2k)!}{(2\pi)^{2k - 2}}\left\{\dfrac{(2k + 1)(2k + 2)}{8\pi^{4}} - \dfrac{1}{12}\right\}\\
&> 0
\end{align*}であり, また,
\begin{align*}
\dfrac{1}{42} = \left|B_{6}\right| < \left|B_{8}\right| = \dfrac{1}{30}
\end{align*}なので, のとき は狭義単調増加.■
\begin{align*}
\left|B_{2k}(x - [x])\right| \leq \left|B_{2k}\right| \leq \dfrac{(2k)!}{12 \cdot (2\pi)^{2k - 2}}
\end{align*}が成り立つ.
(証明)
Cor.29, Prop.32 より,
\begin{align*}
\left|B_{2k}(x - [x])\right| &\leq \dfrac{2 \cdot (2k)!}{(2\pi)^{2k}}\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2k}}\\
&= \left|B_{2k}\right|\\
&\leq \dfrac{(2k)!}{12 \cdot (2 \pi)^{2k - 2}}
\end{align*}をとなる.■