Bernoulli数の漸化式

前回の記事ではBernoulli多項式とBernoulli数を定義し, べき乗和の公式を導きました。
negelon.hatenablog.com
今回はいくつか具体例を計算してみたいと思います。
またBernoulli多項式, Bernoulli数の計算を幾分か楽に行うために、漸化式を証明します。

具体例 - Bernoulli多項式, Bernoulli数 -

前回導入したBernoulli多項式とBernoulli数の定義を再掲する.

Def.6 (Bernoulli多項式) 自然数 に対して,
\begin{align*}
B_{q}(x) = q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{x}{j+1} + B_{q}
\end{align*}をBernoulli多項式という. ここで定数 は,
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) = B_{q}(x)
\end{align*}を満たすようにとる. ただし, と定める.

Def.7 (Bernoulli数) 自然数 に対して, Def.6 の をBernoulli数という. ただし, と定める.

最初に のときを求めよう. であることと自然数 に対して であることに注意すると, Def.6 より,
\begin{align*}
B_{1}(x) &= \sum_{j \geq 0}A_{0, j}\dbinom{x}{j+1} + B_{1}\\
&= A_{0, 0}\dbinom{x}{1} + b_{1}\\
&= x + B_{1}\tag{1}
\end{align*}となる. 次に のとき, であることと自然数 に対して であることに注意すると, Def.6 より,
\begin{align*}
B_{2}(x) &= 2\sum_{j \geq 0}A_{1, j}\dbinom{x}{j+1} + B_2\\
&= 2\left\{A_{1, 0}\dbinom{x}{1}+A_{1, 1}\dbinom{x}{2}\right\}+B_{2}\\
&= x(x-1)+B_{2}\\
&= x^2-x+B_{2}\tag{2}
\end{align*}となるので,
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}B'_{2}(x) = x-\dfrac{1}{2} \tag{3}
\end{align*}である. 定義から(1), (3)が等しいので,
\begin{align*}
x + B_{1} = x-\dfrac{1}{2},
\end{align*}つまり,
\begin{align*}
B_{1} = -\dfrac{1}{2}
\end{align*}となる. よってこれを(1)に代入することで,
\begin{align*}
B_1(x) = x-\dfrac{1}{2}.
\end{align*}次に, のとき, , であることと自然数 に対して であることに注意すると, Def.6 より,
\begin{align*}
B_3(x) &= \sum_{j \geq 0}A_{2, j}\dbinom{x}{j+1} + B_3\\
&= 3\left\{A_{2, 0}\dbinom{x}{1}+A_{2, 1}\dbinom{x}{2} + A_{2, 2}\dbinom{x}{3}\right\}+B_{3}\\
&= 3\dfrac{x(x-1)}{2} + x(x-1)(x-2) +B_3\\
&= x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2} + B_3 \tag{4}
\end{align*}となるので,
\begin{align*}
\dfrac{1}{3}B'_3(x) = x^2 - x + \dfrac{1}{6} \tag{5}
\end{align*}である. 定義から(2), (5)が等しいので,
\begin{align*}
x^2-x+B_{2} = x^2 - x + \dfrac{1}{6},
\end{align*}つまり,
\begin{align*}
B_{2} = \frac{1}{6}
\end{align*}となる. よってこれを(2)に代入することで,
\begin{align*}
B_2(x) = x^2 - x + \dfrac{1}{6}.
\end{align*}

Bernoulli数の漸化式

上の具体例を見ればわかるように, が大きくなるにつれてたくさんの を計算しなければならず, あまり現実的ではない. そこで, 具体的な計算にはこれから示す漸化式を用いるとよい.

Lemma.10 を自然数とするとき,
\begin{align*}
B_q(x)=\sum_{j=0}^{q}\binom{q}{j}B_jx^{q-j}.
\end{align*}

(証明)
に関する数学的帰納法で示す. のときは, 任意の自然数 に対して であることに注意すれば,
\begin{align*}
B_1(x)&=\sum_{j \geq 0}A_{0,j}\binom{x}{j+1}+B_1\\
&=\dbinom{x}{1}+B_1\\
&=x+B_1
\end{align*}となり成立する. まで成り立つと仮定すると,
\begin{align*}
B'_{q}(x)&=qB_{q-1}(x)\\
&=q\sum_{j=0}^{q-1}\binom{q-1}{j}B_jx^{q-j-1}\\
&=\sum_{j=0}^{q-1}\frac{q!}{j!(q-j-1)!}B_jx^{q-j-1}
\end{align*}である. ただし2行目の等号で のときの仮定を用いた. ここで両辺を積分すると を積分定数として,
\begin{align*}
B_q(x)&=\sum_{j=0}^{q-1}\frac{q!}{j!(q-j)!}B_jx^{q-j}+C\\
&=\sum_{j=0}^{q-1}\binom{q}{j}B_jx^{q-j}+C
\end{align*}となり を代入すれば Prop.9 より となるので, より,
\begin{align*}
B_q(x)&=\sum_{j=0}^{q-1}\binom{q}{j}B_jx^{q-j}+B_q\\
&=\sum_{j=0}^{q}\binom{q}{j}B_jx^{q-j}
\end{align*}を得る. ■

Lemma.10 より, Bernoulli多項式は有理数係数モニック多項式であることが分かる.

Prop.11 (Bernoulli数の漸化式) 以上の自然数 に対して,
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{q-1}\binom{q}{j}B_j=0.
\end{align*}

(証明)
Lemma.10の両辺に をかけて とすれば, は 以上の自然数なので Prop.9 から,
\begin{align*}
B_q=\sum_{j=0}^{q}\binom{q}{j}B_j
\end{align*}である. 従って両辺から をひけば,
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{q-1}\binom{q}{j}B_j=0
\end{align*}を得る. ■

Bernoulli多項式, Bernoulli数の最初のいくつかを下図にまとめる.
Bernoulli多項式

Bernoulli数

具体例 -べき乗和の公式-

本記事の最後に, 乗和の公式を導出してみよう. は上の表を参考にせよ. を自然数とするとき Prop.8 に注意すると, Prop.9 (べき乗和の公式) より,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^5 &= \dfrac{1}{6}\left\{B_6(N+1) - B_6(1)\right\}\\
&= \dfrac{1}{6}\left\{B_6(N+1) - B_6\right\}\\
&= \dfrac{1}{6}\left\{(N+1)^6 - 3(N+1)^5 + \dfrac{5}{2}(N+1)^4 -\dfrac{1}{2}(N+1)^2\right\}\\
&= \dfrac{1}{12}(N+1)^2\left\{2(N+1)^4 - 6(N+1)^3 + 5(N+1)^2 - 1\right\}\\
&= \dfrac{1}{12}\left\{N(N+1)\right\}^2(2N^2+2N-1)
\end{align*}となる. 従って乗和の公式は,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^5 = \dfrac{1}{12}\left\{N(N+1)\right\}^2(2N^2+2N-1)
\end{align*}である.