Euler定数の評価

前回は、Euler-MacLaurinの和公式の応用として階乗の漸近公式を証明しました。
negelon.hatenablog.com
今回は、Euler-MacLaurinの和公式のもう1つの応用としてEuler定数の評価を行います。

Euler定数

Prop. 38任意の自然数 , に対して, を満たす実数 が存在して,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n}=\gamma+\log{N}+\dfrac{1}{2N} - \sum_{j=1}^{m - 1}\dfrac{B_{2j}}{2j}N^{-2j} - \vartheta_m(N)\dfrac{B_{2m}}{2m}N^{-2m}
\end{align*}が成り立つ. ただし,
\begin{align*}
\gamma:=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}-\log{N}\right)
\end{align*}
である.

(証明)
Prop.35 において , , , とすれば,
\begin{align*}
\sum_{n=2}^N\frac{1}{n}&=\log{N}+\sum_{r=1}^{2m}\frac{(-1)^r}{r!}B_r\left\{(-1)^{r-1}(r-1)!N^{-r}-(-1)^{r-1}(r-1)!\right\}\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{(-1)^{2m-1}}{(2m)!}\int_1^N(-1)^{2m}(2m!)B_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx\\
&=\log{N}+\sum_{r=1}^{2m}\frac{B_r}{r}\left(1-N^{-r}\right)-\int_1^NB_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx\\
&=\log{N}+\frac{B_1}{1}\left(1-N^{-1}\right)+\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}\left(1-N^{-2j}\right)-\int_1^NB_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx\\
&=\log{N}-\frac{1}{2}\left(1-N^{-1}\right)+\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}\left(1-N^{-2j}\right)-\int_1^NB_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx\\
&=\log{N}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2N}+\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}\left(1-N^{-2j}\right)-\int_1^NB_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx
\end{align*}となる. ただし, 行目の等号ではProp.13 を, 行目の等号では であることを用いた. よって,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}&=\log{N}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2N}+\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}-\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}N^{-2j}\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, +\int_N^\infty B_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx-\int_1^\infty B_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx
\end{align*}である. ここで,
\begin{align*}
\Omega_{2m}(N)&:=\int_N^\infty B_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx,\\
\gamma_m&:=-\int_1^\infty B_{2m}(x-[x])x^{-(2m+1)}dx-\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}+\frac{1}{2}
\end{align*}とすると,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}-\log{N}=\frac{1}{2N}-\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}N^{-2j}+\Omega_{2m}(N)+\gamma_m
\end{align*}とかける. いま, は に依存していない. 実際,
\begin{align*}
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N}&=0,\\
\lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}N^{-2j}&=0
\end{align*}であることと, Prop.34を用いると,
\begin{align*}
\left|\Omega_{2m}(N)\right|&\leq \int_N^\infty\left|B_{2m}(x-[x])\right|x^{-(2m+1)}dx\\
&\leq \left|B_{2m}\right|\int_N^\infty x^{-(2m+1)}dx\\
&=\frac{|B_{2m}|}{2m}N^{-2m} \to 0\ (N\to\infty)
\end{align*}なので,
\begin{align*}
\lim_{N\to\infty}\Omega_{2m}(N)=0
\end{align*}であることより,
\begin{align*}
\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}-\log{N}\right)&=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{2N}-\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}N^{-2j}+\Omega_{2m}(N)+\gamma_m\right)\\
&=\gamma_m
\end{align*}となって に依存しない. これより, とおける. さて, であることから,
\begin{align*}
R_{2m}(N):=\frac{B_{2m}}{2m}N^{-2m}-\Omega_{2m}(N)
\end{align*}とおくと, と は同符号. よって,
\begin{align*}
R_{2m}(N)=\vartheta_m(N)\frac{B_{2m}}{2m}N^{-2m}\tag{1}
\end{align*}により を定めると, である. このとき,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}&=\gamma+\log{N}+\frac{1}{2N}-\sum_{j=1}^{m}\frac{B_{2j}}{2j}N^{-2j}+\Omega_{2m}(N)\\
&=\gamma+\log{N}+\frac{1}{2N}-\sum_{j=1}^{m - 1}\frac{B_{2j}}{2j}N^{-2j}-R_{2m}(N)\tag{2}
\end{align*}であり, を に置きかえると,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=\gamma+\log{N}+\frac{1}{2N}-\sum_{j=1}^m\frac{B_{2j}}{2j}N^{-2j}-R_{2(m+1)}(N)\tag{3}
\end{align*}となる. よって(2), (3)より,
\begin{align*}
R_{2m}(N)=\frac{B_{2m}}{2m}N^{-2m}+R_{2(m+1)}(N)
\end{align*}であるから(1)より,
\begin{align*}
\vartheta_m(N)\frac{B_{2m}}{2m}N^{-2m}&=\frac{B_{2m}}{2m}N^{-2m}+\vartheta_{m+1}(N)\frac{B_{2(m+1)}}{2(m+1)}N^{-2(m+1)}\\
&=\frac{B_{2m}}{2m}N^{-2m}\left\{1-\left|\frac{B_{2(m+1)}}{B_{2m}}\right|\frac{2m}{2(m+1)}N^{-2}\vartheta_{m+1}(N)\right\}
\end{align*}となる. よって,
\begin{align*}
\vartheta_{m}(N)=1-\left|\frac{B_{2(m+1)}}{B_{2m}}\right|\frac{2m}{2(m+1)}N^{-2}\vartheta_{m+1}(N)
\end{align*}であるから, と合わせて を得る. ■

Def. 39 Prop.38 における
\begin{align*}
\gamma:=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}-\log{N}\right)
\end{align*}をEuler定数という.

Euler定数の評価

Euler定数 の値は有理数か無理数かさえ分かっていない. しかし定理 Ptop.38 を用いると, の近似を行うことができる. 例えば, , とすると,
\begin{align*}
\gamma&=\frac{1}{2}+\frac{B_2}{2}+\frac{B_4}{4}+\frac{B_6}{6}+\frac{B_8}{8}\vartheta_4(1)\\
&=\frac{26}{45}-\frac{\vartheta_4(1)}{240}
\end{align*}であるから より,
\begin{align*}
0.575<\gamma<0.5777\cdots
\end{align*}
を得る.