Bernoulli多項式の積公式

前回は、von Staudt-Clausenの定理を証明しました。
negelon.hatenablog.com
今回は、Bernoulli多項式の積公式を証明します。

Bernoulli多項式の積公式

Prop.24(Bernoulli多項式の積公式) を自然数とするとき,
\begin{align*}
B_{q}(kx) = k^{q-1} \sum_{j = 0}^{k - 1} B_{q}\left(x + \dfrac{j}{k}\right)
\end{align*}が成り立つ.

(証明)
\begin{align*}
x^{q} = \dfrac{1}{q+1} \{B_{q + 1}(x + 1) - B_{q + 1}(x)\}
\end{align*}において とすれば,
\begin{align*}
\left(n + \dfrac{j}{k}\right)^{q} = \dfrac{1}{q+1} \left\{B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k} + 1\right) - B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k}\right)\right\}
\end{align*}より,
\begin{align*}
(kn + j)^{q} = \dfrac{k^{q}}{q+1} \left\{B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k} + 1\right) - B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k}\right)\right\}
\end{align*}となる. このとき,
\begin{align*}
\sum_{n = M}^{N - 1}\sum_{j = 0}^{k - 1}(kn + j)^{q} &= \sum_{n = M}^{N - 1}\sum_{j = 0}^{k - 1} \dfrac{k^{q}}{q+1} \left\{B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k} + 1\right) - B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k}\right)\right\}\\
&= \dfrac{k^{q}}{q + 1}\sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{n = M}^{N - 1} \left\{B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k} + 1\right) - B_{q+1}\left(n + \dfrac{j}{k}\right)\right\}\\
&= \dfrac{k^{q}}{q + 1}\sum_{j = 0}^{k - 1}\left\{B_{q+1}\left(N + \dfrac{j}{k}\right) - B_{q+1}\left(M + \dfrac{j}{k}\right)\right\}\\
\end{align*}である. ここで,
\begin{align*}
\sum_{n = M}^{N - 1}\sum_{j = 0}^{k - 1}(kn + j)^{q} &= \sum_{m = Mk}^{Nk - 1}m^{q}\\
&= \dfrac{1}{q + 1}\left\{B_{q + 1}(Nk) - B_{q + 1}(Mk)\right\}
\end{align*}より,
\begin{align*}
\dfrac{k^{q}}{q + 1}\sum_{j = 0}^{k - 1}\left\{B_{q + 1}\left(N + \dfrac{j}{k}\right) - B_{q + 1}\left(M + \dfrac{j}{k}\right)\right\} = \dfrac{1}{q + 1}\{B_{q + 1}(Nk) - B_{q + 1}(Mk)\}
\end{align*}となって, これを整理すると,
\begin{align*}
B_{q + 1}(Nk) - k^{q}\sum_{j = 0}^{k - 1}B_{q + 1}\left(N + \dfrac{j}{k}\right) = B_{q + 1}(Mk) - k^{q}\sum_{j = 0}^{k - 1}B_{q + 1}\left(M + \dfrac{j}{k}\right) \tag{1}
\end{align*}を得る. 今, は高々 次の多項式であり, (1) において は任意であったから, は定数関数である. よって, ある定数 が存在して,
\begin{align*}
B_{q + 1}(xk) - k^{q}\sum_{j = 0}^{k - 1}B_{q + 1}\left(x + \dfrac{j}{k}\right) = c
\end{align*}である. この両辺を微分して 倍すれば,
\begin{align*}
k\dfrac{B'_{q + 1}(kx)}{q + 1} - k^{q}\sum_{j = 0}^{k -1}\dfrac{B'_{q + 1}\left(x + \dfrac{j}{k}\right)}{q + 1} = 0
\end{align*}となるので, Bernoulli多項式の定義より,
\begin{align*}
kB_{q}(kx) - k^{q}\sum_{j = 0}^{k - 1}B_{q}\left(x + \dfrac{j}{k}\right) = 0,
\end{align*}つまり,
\begin{align*}
B_{q}(kx) = k^{q-1} \sum_{j = 0}^{k - 1} B_{q}\left(x + \dfrac{j}{k}\right)
\end{align*}を得る.■

Cor.25 を自然数とするとき,
\begin{align*}
B_{2m}\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2^{2m - 1}} - 1 \right)B_{2m}.
\end{align*}

(証明)
Prop.24 において とすれば,
\begin{align*}
B_{2m}(0) &= 2^{2m - 1}B_{2m}(0) + B_{2m}\left(\dfrac{1}{2}\right)
\end{align*}となるので, 整理して Prop.8 を適用すれば,
\begin{align*}
2^{2m - 1}B_{2m}\left(\dfrac{1}{2}\right) &= (1 - 2^{2m -1})B_{2m}(0)\\
&= (1 - 2^{2m -1})B_{2m}
\end{align*}とできる. 従って,
\begin{align*}
B_{2m}\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2^{2m - 1}} - 1 \right)B_{2m}
\end{align*}を得る.■