Bernoulli数の明示公式

前回はBernoulli多項式の零点と, そこから導かれるBernoulli数の性質について考察しました。
negelon.hatenablog.com
今回はBernoulli数の明示公式を与えたいと思います。

Bernoulli数の明示公式

次の Lemma.18 から始める.

Lemma.18 任意の自然数 に対して,
\begin{align*}
B_{q-1} = \sum_{j=0}^{q-1}A_{q-1, j}\dfrac{(-1)^{j}}{j+1}.
\end{align*}

(証明)
まず Lemma.10 より,
\begin{align*}
B_{q}(x)&=\sum_{k=0}^{q} \dbinom{q}{k} B_{k} x^{q-k}\\
&= x^q + qB_{1}x^{q-1} + \dfrac{q(q-1)}{2} B_{2} x^{q-2} + \cdots + qB_{q-1}x + B_{q} \tag{1}
\end{align*}である. 一方でBernoulli多項式の定義から,
\begin{align*}
B_{q}(x) &= q \sum_{j=0}^{q-1} A_{q-1, j} \dbinom{x}{j+1}+B_{q}\\
&= B_{q} + q\sum_{j=0}^{q-1}(-1)^{j}\dfrac{A_{q-1, j}}{j+1}x + \cdots + x^{q} \tag{2}
\end{align*}である. 従って(1), (2)の の係数を比較すれば,
\begin{align*}
qB_{q-1}=q\sum_{j=0}^{q-1}A_{q-1,j}\dfrac{(-1)^j}{j+1},
\end{align*}つまり,
\begin{align*}
B_{q-1}=\sum_{j=0}^{q-1}A_{q-1, j}\dfrac{(-1)^j}{j+1}
\end{align*}を得る.■

Bernoulli数の明示公式は以下で与えられる.

Prop.19 任意の自然数 に対して,
\begin{align*}
B_{q}=\sum_{j=1}^{q}\dfrac{1}{j+1}\sum_{l=1}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}l^{q}.
\end{align*}

(証明)
Lemma.18 において を に置き換えれば,
\begin{align*}
B_{q}=\sum_{j=1}^{q}A_{q, j}\dfrac{(-1)^{j}}{j+1}
\end{align*}である. この右辺にProp.4 を代入すれば,
\begin{align*}
B_{q}=\sum_{j=1}^{q}\dfrac{1}{j+1}\sum_{l=1}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}l^{q}.
\end{align*}を得る.■