von Staudt-Clausenの定理

前回は、本記事で用いる補題を証明しました。
negelon.hatenablog.com
今回は、Bernoulli数の分母を完全に決定するvon Staudt-Clausenの定理を証明したいと思います。

Thm.23(von Staudt-Clausen) $k$ を自然数とするとき,
\begin{align*}
B_{2k} = G_{2k} - \sum_{(p - 1) | 2k} \dfrac{1}{p}
\end{align*}を満たす整数 $G_{2k}$ が存在する. ただし右辺の和は $(p-1) | 2k$ となる素数 $p$ を渡る.

証明を行う前に Thm.23 から分かるいくつかの事を見ていこう.

右辺を通分すると既約分数になるのでこの定理はBernoulli数の分母を完全に決定していることが分かる.
$1,2|2k$ より全てのBernoulli数の分母は必ず $6$ の倍数になっていることが分かる.

では証明にとりかかろう.

(Thm.23の証明)
Lemma.18 より,
\begin{align*}
B_{2k} = \sum_{j=0}^{2k} A_{2k,j}\dfrac{(-1)^{j}}{j+1} \tag{1}
\end{align*}となることから始めよう. Lemma.22 より, $j+1$ が素数でありかつ $j|2k$ のときはある整数 $n$ を用いて,
\begin{align*}
A_{2k,j} = n(j+1) - 1
\end{align*}とかけるので,
\begin{align*}
\dfrac{A_{2k,j}}{j+1} = n - \dfrac{1}{j+1} \tag{2}
\end{align*}となる. また上記以外のときはある整数 $m$ を用いて,
\begin{align*}
A_{2k,j} = m(j+1)
\end{align*}とかけるので,
\begin{align*}
\dfrac{A_{2k,j}}{j+1} = m \tag{3}
\end{align*}となる. よって, $j+1$ が素数のとき $p$ と表せば, (1), (2), (3) より整数 $G'_{2k}$ を用いて,
\begin{align*}
B_{2k} = \sum_{(p-1) | 2k}\dfrac{(-1)^{p}}{p} + G'_{2k}
\end{align*}とできる. 従ってこれを変形すれば,
\begin{align*}
B_{2k} &= \dfrac{1}{2} - \sum_{\substack{(p-1) | 2k \\ p \neq 2}}\dfrac{1}{p} + G'_{2k}\\
&= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \sum_{\substack{(p-1) | 2k \\ p \neq 2}}\dfrac{1}{p} + G'_{2k}\\
&= G_{2k} - \sum_{(p - 1) | 2k} \dfrac{1}{p}
\end{align*}を得る. ただし最後の等号では $G_{2k} = G'_{2k} + 1$ とした. ■

具体例

Thm.23 を用いて $B_{12}$ の分母を求めてみよう. $(p-1) | 12$ を満たす素数 $p$ は $p=2, 3, 5, 7, 13$ なので, $B_{12}$ の分母は,
\begin{align*}
2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13 = 2730
\end{align*}となる. 実際これは以前に掲載した以下の表より正しいことが分かる.
Bernoulli数