周期Bernoulli多項式のFourier展開

前回はBernoulli多項式の積公式を証明しました。
negelon.hatenablog.com
今回は、周期Bernoulli多項式のFourier展開を求めたいと思います。

Fourier係数の計算

任意の自然数 に対して,
\begin{align*}
\psi_q(x):=B_q(x-[x])
\end{align*}と定義すると は周期 の周期関数である. が 以上のときは Prop.8 より なので は連続であり, のときは Prop.8 より なので は整数点で不連続であることが分かる. よってFourier級数の一般論から はFourier展開可能である. ここでは のFourier展開
\begin{align*}
\psi_q(x)=\dfrac{a_0^{(q)}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n^{(q)}\cos2n \pi x+b_n^{(q)}\sin2n \pi x)
\end{align*}を決定する. ただし はFourier係数であり,
\begin{align*}
a_n^{(q)}&=2\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\psi_q(x)\cos2n \pi xdx\\
&=2\int_{0}^{1}\psi_q(x)\cos2n \pi xdx\\
&=2\int_{0}^{1}B_q(x-[x])\cos2n \pi xdx\\
&=2\int_{0}^{1}B_q(x)\cos2n \pi xdx,\\
b_n^{(q)}&=2\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\psi_q(x)\sin2n \pi xdx\\
&=2\int_{0}^{1}\psi_q(x)\sin2n \pi xdx\\
&=2\int_{0}^{1}B_q(x-[x])\sin2n \pi xdx\\
&=2\int_{0}^{1}B_q(x)\sin2n \pi xdx\\
\end{align*}なのでそれぞれ,
\begin{align*}
a_n^{(q)}=2\int_{0}^{1}B_q(x)\cos2n \pi xdx,
\end{align*}
\begin{align*}
b_n^{(q)}=2\int_{0}^{1}B_q(x)\sin2n \pi xdx
\end{align*}と表せる.

Lemma.26任意の自然数 に対して,
\begin{align*}
a_0^{(q)}=0.
\end{align*}

(証明)
\begin{align*}
a_0^{(q)}&=2\int_{0}^{1}B_q(x)dx\\
　　　 &=\dfrac{2}{q+1}\int_{0}^{1}B'_{q+1}(x)dx\\
&=\dfrac{2}{q+1}\left\{B_{q+1}(1)-B_{q+1}(0)\right\}\\
&=\dfrac{2}{q+1}\left\{B_{q+1}-B_{q+1}\right\}\\
&=0.
\end{align*}ただし 行目の等号ではBernoulli多項式の定義を, 行目の等号ではProp.8を用いた. ■

Lemma.27 任意の自然数 に対して,
(1) .
(2) .
(3).
(4).

(証明)
(1) に関する数学的帰納法で示す.
のときは,
\begin{align*}
a_n^{(1)}&=2\int_{0}^{1}B_{1}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=2\int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)\cos{2\pi nx}dx\\
&=0
\end{align*}より成立する.
まで成立すると仮定すると, 部分積分を行うことによって,
\begin{align*}
a_n^{(2k+1)}&=2\int_0^1B_{2k+1}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[B_{2k+1}(x)\sin{2\pi nx}\right]_0^1-\frac{1}{\pi n}\int_0^1B'_{2k+1}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{1}{\pi n}\int_0^1B'_{2k+1}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k+1}{\pi n}\int_0^1B_{2k}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=\frac{2k+1}{2(\pi n)^2}\left[B_{2k}(x)\cos{2\pi nx}\right]_0^1-\frac{2k+1}{2(\pi n)^2}\int_0^1B'_{2k}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k+1}{2(\pi n)^2}\int_0^1B'_{2k}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k(2k+1)}{2(\pi n)^2}\int_0^1B_{2k-1}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k(2k+1)}{(2\pi n)^2}a_n^{(2k-1)}\\
&=0
\end{align*}を得る. ここで, 行目と 行目の等号はBernoulli多項式の定義より, 行目の等号は Prop.8 より従う. また最後の等号では のときの仮定を用いた.
(2) に関する数学的帰納法で示す.
のときは,
\begin{align*}
b_n^{(1)}&=2\int_{0}^{1}B_{1}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=2\int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{1}{\pi n}\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)cos{2\pi nx}\right]_0^1+\frac{1}{\pi n}\int_0^1\cos{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{1}{\pi n}\\
&=(-1)^1\frac{2(2\cdot1-1)!}{(2\pi n)^{2\cdot1-1}}
\end{align*}より成立する.
まで成立すると仮定すると, 部分積分を行うことによって,
\begin{align*}
b_n^{(2k+1)}&=2\int_0^1B_{2k+1}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{1}{\pi n}\left[B_{2k+1}(x)\cos{2\pi nx}\right]_0^1+\frac{1}{\pi n}\int_0^1B'_{2k+1}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{1}{\pi n}\int_0^1B'_{2k+1}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{2k+1}{\pi n}\int_0^1B_{2k}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{2k+1}{2(\pi n)^2}\left[B_{2k}(x)\sin{2\pi nx}\right]_0^1-\frac{2k+1}{2(\pi n)^2}\int_0^1B'_{2k}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k+1}{2(\pi n)^2}\int_0^1B'_{2k}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k(2k+1)}{2(\pi n)^2}\int_0^1B_{2k-1}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k(2k+1)}{(2\pi n)^2}b_n^{(2k-1)}\\
&=(-1)^k\dfrac{2 \cdot (2k-1)!}{(2 \pi n)^{2k-1}}
\end{align*}より成立する. ここで, 行目と 行目の等号はBernoulli多項式の定義より, 行目の等号は Prop.8より従う. また最後の等号では のときの仮定を用いた.
(3) 部分積分を行うと,
\begin{align*}
a_n^{(2k)}&=2\int_0^1B_{2k}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[B_{2k}(x)\sin{2\pi nx}\right]_0^1-\frac{1}{\pi n}B'_{2k}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{1}{\pi n}B'_{2k}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{2k}{\pi n}\int_0^1B_{2k-1}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{k}{\pi n}b_n^{(2k-1)}\\
&==(-1)^{k - 1}\dfrac{2\cdot(2k)!}{(2 \pi n)^{2k}}
\end{align*}となり成立. ただし, 行目の等号ではBernoulli多項式の定義より, 最後の等号は より従う.
(4) 部分積分を行うと,
\begin{align*}
b_n^{(2k)}&=2\int_0^1B_{2k}(x)\sin{2\pi nx}dx\\
&=-\frac{1}{\pi n}\left[B_{2k}(x)\cos{2\pi nx}\right]_0^1+\frac{1}{\pi n}B'_{2k}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{1}{\pi n}B'_{2k}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{2k}{\pi n}\int_0^1B_{2k-1}(x)\cos{2\pi nx}dx\\
&=\frac{k}{\pi n}b_n^{(2k-1)}\\
&=0
\end{align*}となり成立. ただし, 行目の等号はProp.8より, 行目の等号はBernoulli多項式の定義より従う. また最後の等号では を用いた. ■

Fourier展開の実行

Thm.28
(1) 自然数 に対して,
\begin{align*}
\psi_{2k-1}(x)=2(-1)^k(2k-1)!\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin2 \pi nx}{(2 \pi n)^{2k-1}}.
\end{align*} (2) 自然数 に対して,
\begin{align*}
\psi_{2k}(x)=2(-1)^{k - 1}(2k)!\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2 \pi nx}{(2 \pi n)^{2k}}.
\end{align*}

(証明)
(1)\begin{align*}
\psi_{2k-1}(x)&=\frac{a_0^{(2k-1)}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n^{(2k-1)}\cos2n \pi x+b_n^{(2k-1)}\sin2n \pi x\right)\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n^{(2k-1)}\cos2n \pi x+b_n^{(2k-1)}\sin2n \pi x\right)\\
&=2(-1)^k(2k-1)!\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin2 \pi nx}{(2 \pi n)^{2k-1}}.
\end{align*} 行目の等号では Lemma.26 を, 行目の等号では Lemma.27 を用いた.
(2)\begin{align*}
\psi_{2k}(x)&=\dfrac{a_0^{(2k)}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n^{(2k)}\cos2n \pi x+b_n^{(2k - 1)}\sin2n \pi x\right)\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n^{(2k)}\cos2n \pi x+b_n^{(2k)}\sin2n \pi x\right)\\
&=2(-1)^{k - 1}(2k)!\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2 \pi nx}{(2 \pi n)^{2k}}.
\end{align*} 行目の等号では Lemma.26 を, 行目の等号では Lemma.27 を用いた.■