2018-11-12

べき乗和の公式とBernoulli多項式, Bernoulli数

Bernoulli数

今回は前回の記事で定めた $A_{q, j}$ を用いてべき乗和の公式を導きます。
negelon.hatenablog.com
また、より簡潔に公式を書き下すためにBernoulli多項式とBernoulli数を定義します。

べき乗和の公式

Prop.5 自然数 $q$ と $N > M$ を満たす任意の整数 $N, M$ に対して,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N-1}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{M}{j+1}\right\}.
\end{align*}特に, 自然数Nに対して,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{1}{j+1}\right\}.
\end{align*}

(証明)
Prop.1から,
\begin{align*}
x^q &= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x}{j}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1}\right\}
\end{align*}なので, $n = M, M+1, \cdots, N-1$ をそれぞれ $x$ に代入して足し合わせるとCor.2より,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N-1}n^{q} &= \sum_{n=M}^{N-1}\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{n+1}{j+1}-\dbinom{n}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\sum_{n=M}^{N-1}\left\{\dbinom{n+1}{j+1}-\dbinom{n}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1}-\dbinom{M}{j+1}\right\}
\end{align*}となる. 特に $M$ を $1$ に, $N$ を $N+1$ にすれば,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^{q} = \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{N+1}{j+1} - \dbinom{1}{j+1}\right\}
\end{align*}を得る. ■

Bernoulli多項式とBernoulli数

べき乗和の公式を導くことはできたが, このままではまだ少し複雑である. そこで, より分かりやすくするためにBernoulli多項式とBernoulli数を定義しよう. まずはBernoulli多項式の定義から行う.
自然数 $q$ に対して, $B_q$ はひとまず何かしらの定数としておき,
\begin{align*}
B_q(x) := q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{x}{j+1} + B_q
\end{align*}と定める. ここからは $B_q$ を上手く決定していく. まず, Prop.1とDef.3から,
\begin{align}
\dfrac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(x+1) - B_{q+1}(x)\right\} &= \dfrac{1}{q+1}\left\{(q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x+1}{j+1} - (q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\left\{\dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{j \geq 0}A_{q, j}\dbinom{x}{j}\\
&= x^{q} \tag{1}
\end{align}である. この両辺を $x$ で微分して変形することで,
\begin{align*}
qx^{q-1} = \dfrac{1}{q+1}\left\{B'_{q+1}(x+1) - B'_{q+1}(x)\right\} \tag{2}
\end{align*}が分かる. また (1) において $q$ を $q-1$ として変形すれば,
\begin{align*}
qx^{q-1} = \left\{B_{q}(x+1) - B_{q}(x)\right\}　\tag{3}
\end{align*}となるので, (2), (3) より,
\begin{align*}
\dfrac{1}{q+1}\left\{B'_{q+1}(x+1) - B'_{q+1}(x)\right\} = B_{q}(x+1) - B_{q}(x),
\end{align*}つまり,
\begin{align*}
\dfrac{1}{q+1}B'_{q+1}(x+1) - B_{q}(x+1) = \dfrac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) - B_{q}(x)
\end{align*}を得る. これより, $\dfrac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) - B_{q}(x)$ は周期1の多項式であることが分かるが, 周期を持つ多項式は定数関数のみなので, ある定数 $K_{q}$ が存在して,
\begin{align*}
\dfrac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) - B_{q}(x) = K_{q}
\end{align*}となる. さて, いよいよ $B_{q}$ を決定する. $K_{q} = 0$ となるように $B_{q}$ をとる. つまり,
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) = B_{q}(x)
\end{align*}となるように $B_{q}$ を選ぶのである. 以上でBernoulli多項式が定義できた.

Def.6 (Bernoulli多項式) 自然数 $q$ に対して,
\begin{align*}
B_{q}(x) = q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{x}{j+1} + B_{q}
\end{align*}をBernoulli多項式という. ここで定数 $B_q$ は,
\begin{align*}
\frac{1}{q+1}B'_{q+1}(x) = B_{q}(x)
\end{align*}を満たすようにとる. ただし, $B_{0}(x) := 1$ と定める.

実はBernoulli数も既に顔を出している.

Def.7 (Bernoulli数) 自然数 $q$ に対して, Def.6 の $B_{q}$ をBernoulli数という. ただし, $B_{0} := 1$ と定める.

Bernoulli数はBernoulli多項式の $x = 0, 1$ での値に現れる.

Prop.8 $q$ を自然数とするとき,
(1) $B_q(0)=B_q.$
(2) $B_q(1)= \begin{cases} 1+B_1 & (q = 1 のとき), \\ B_q & (q \geq 2 のとき). \end{cases}$

(証明)
(1) \begin{align*}
B_{q}(0) &= q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{0}{j+1} + B_q\\
&= B_{q}.
\end{align*}
(2) $q=1$ のときは $A_{0, 0} = 1$ であることと自然数 $j$ に対して $A_{0, j} = 0$ であることより,
\begin{align*}
B_{1}(1) &= \sum_{j \geq 0}A_{0, j}\dbinom{1}{j+1} + B_{1}\\
&= 1 + B_{1}.
\end{align*} $q \geq 2$ のときは, 自然数 $r$ に対して $A_{r, 0}=0$ であることより,
\begin{align*}
B_{q}(1) &= q\sum_{j \geq 0}A_{q-1, j}\dbinom{1}{j+1} + B_{q}\\
&= q\left\{A_{q-1, 0}\dbinom{1}{1} + \sum_{j \geq 1}A_{q-1, j}\dbinom{1}{j+1}\right\} + B_{q}\\
&= B_{q}.
\end{align*}
以上より成立する. ■

べき乗和の公式、再び

Bernoulli多項式, Bernoulli数の具体的な計算は次回に行うことにする. 本記事の最後に, Bernoulli多項式を用いてべき乗和の公式( Prop.5 )を書き換えよう.

Prop.9 (べき乗和の公式) 任意の自然数 $q$ と $N > M$ となる任意の整数 $M, N$ に対して,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N}n^q=\dfrac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}(M)\right\}.
\end{align*}特に自然数 $N$ に対して,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^q = \frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}\right\}.
\end{align*}

(証明)
Prop.5 より,
\begin{align*}
\sum_{n=M}^{N}n^q &= \sum_{j \geq 0}A_{q,\,j}\left\{\binom{N+1}{j+1}-\binom{M}{j+1}\right\}\\
&=\frac{1}{q+1}\left\{(q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\binom{N+1}{j+1}+B_{q+1}-(q+1)\sum_{j \geq 0}A_{q, j}\binom{M}{j+1}-B_{q+1}\right\}\\
&=\frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}(M)\right\}.
\end{align*}特に $M=1$ とすれば Prop. 8 より,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}n^q &= \frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}(1)\right\}\\
&= \frac{1}{q+1}\left\{B_{q+1}(N+1)-B_{q+1}\right\}
\end{align*}を得る. ■

2018-11-11

二項係数の多項式への拡張とある整数

Bernoulli数

Bernoulli多項式やBernoulli数は通常母関数を用いて定義されますが、このブログでは別の定義を採用します。
今回はそのための準備を行います。

二項係数の多項式への拡張

非負整数 $j$ に対して, 有理数係数多項式 $\dbinom{x}{j}$ を,

\begin{align*}
\dbinom{x}{j} :=
\begin{cases}
\dfrac{x(x-1)\cdots(x-j+1)}{1\cdot2\cdots j} & (j \geq 1 のとき), \\
1 & (j = 0 のとき)
\end{cases}
\end{align*}

と定める. これは二項係数の多項式への自然な拡張になっている. 二項係数のときと同様に次が成り立つ.

Prop.1 非負整数 $j$ に対して,
\begin{align*}
\dbinom{x}{j} = \dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1}
\end{align*}が成り立つ.

(証明)
$j = 0$ のときは明らかなので, $j$ が自然数のときに示す.
\begin{align*}
\dbinom{x+1}{j+1} - \dbinom{x}{j+1} &= \dfrac{(x+1)x(x-1)\cdots(x-j+1)}{1\cdot2\cdots j(j+1)} - \dfrac{x(x-1)\cdots(x-j+1)(x-j)}{1\cdot2\cdots j(j+1)}\\
&= \dfrac{x(x-1)\cdots(x-j+1)}{1\cdot2\cdots j}\\
&= \dbinom{x}{j}
\end{align*}より成立. ■

Cor.2 非負整数 $j$ と $N > M$ を満たす任意の整数 $N, M$ に対して,
\begin{align*}
\sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n}{j} = \dbinom{N}{j+1} - \dbinom{M}{j+1}
\end{align*}が成り立つ.

(証明)
Prop.1より,
\begin{align*}
\sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n}{j} &= \sum_{n = M}^{N-1}\left\{\dbinom{n+1}{j+1} - \dbinom{n}{j+1}\right\}\\
&= \sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n+1}{j+1} - \sum_{n = M}^{N-1}\dbinom{n}{j+1}\\
&= \dbinom{N}{j+1}-\dbinom{M}{j+1}
\end{align*}より成立. ■

整数 $A_{q, j}$

今, 任意の整数点で整数値をとる $n$ 次多項式 $f(x)$ を考える. この $f(x)$ に対して整数 $A_{j}$ を,
\begin{align*}
f(x) = \sum_{j \geq 0}A_{j}\dbinom{x}{j}
\end{align*}
で定める. $A_{j}$ が整数であることは,
$f(0) = A_{0} \in \mathbb{Z}$ ,
$f(1) = A_{0} + A_{1} \in \mathbb{Z}$ であり, $A_{0} \in \mathbb{Z}$ から $A_{1} \in \mathbb{Z}$ ,
$f(2) = A_{0} + 2A_{1} + A_{2}$ であり, $A_{0}, A_{1} \in \mathbb{Z}$ から $A_{2} \in \mathbb{Z}$ ,
$\cdots$
としていくことで帰納的に分かる. また次数の関係から, $n+1$ 以上の自然数 $j$ に対して $A_{j} = 0$ であることも分かるので, 右辺の和は有限和である.
さて, 今自然数 $q$ に対して $f(x) = x^{q}$ として, 整数 $A_{q, j}$ を定める. つまり次のように定義する.

Def.3 自然数 $q$ と非負整数 $j$ に対して整数 $A_{q, j}$ を,
\begin{align*}
x^{q} = \sum_{j \geq 0} A_{q, j}\dbinom{x}{j}
\end{align*}で定める. ただし $A_{0, 0} := 1$ , また自然数 $j$ に対して $A_{0, j} := 0$ と定める.

整数 $A_{q, j}$ の性質のうち簡単に分かるものをいくつか挙げる.
まず次数の関係から, $j>q$ のとき $A_{q, j} = 0$ となる.
次に定義の式の両辺で $x=0$ とすることで $A_{q, 0} = 0$ を得る.
また, 定義の式の両辺で $x^{q}$ の係数を比較することで $A_{q, q} = q!$ が分かる.

$A_{q, j}$ の明示公式

整数 $A_{q, j}$ は以下の表示を持つ.

Prop.4 $q \geq j$ を満たす自然数 $q$ と非負整数 $j$ に対して,
\begin{align*}
A_{q, j} = \sum_{m = 0}^{j}(-1)^m\dbinom{j}{m}(j - m)^{q}
\end{align*}が成り立つ.

(証明)
\begin{align*}
\sum_{l = 0}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}l^{q} &= \sum_{l = 0}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j}{l}\sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\dbinom{l}{k}\\
&= \sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\sum_{l = 0}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}\dbinom{l}{k}\\
&= \sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\dfrac{j!}{k!(j-k)!}\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k}.
\end{align*} ここで $k \neq j$ のときは,
\begin{align*}
\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k} &= (-1)^{k}\sum_{\lambda = 0}^{j-k}(-1)^{\lambda}\dbinom{j-k}{\lambda}\\
&= 0
\end{align*}であり, $k = j$ のときは,
\begin{align*}
\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k} &= (-1)^j
\end{align*}となるので,
\begin{align*}
\sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\sum_{l = 0}^{j}(-1)^l\dbinom{j}{l}\dbinom{l}{k} &= \sum_{k = 0}^{q}A_{q, k}\dfrac{j!}{k!(j-k)!}\sum_{l = k}^{j}(-1)^{l}\dbinom{j-k}{l-k}\\
&= A_{q, j}\dfrac{j!}{j!0!}(-1)^{j}\\
&= (-1)^{j}A_{q, j}
\end{align*}となる. よって,
\begin{align*}
A_{q, j} &= \sum_{l = 0}^{j}(-1)^{l+j}\dbinom{j}{l}l^{q}\\
&= \sum_{m=0}^{j}(-1)^m\dbinom{j}{m}(j-m)^{q}
\end{align*}を得る. ただし, 最後の等号では $m = j-l$ とした. ■